número de elementos do conjunto soluções da equação \(x+y+z=8\), onde x, y e z são números naturais positivos, é

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para resolver a equação \(x + y + z = 8\), onde \(x\), \(y\) e \(z\) são números naturais positivos, precisamos entender quantas combinações diferentes podemos formar com esses números.

Como \(x\), \(y\) e \(z\) são números naturais positivos, isso implica que cada um deles deve ser pelo menos 1. Portanto, podemos transformar a nossa equação original para facilitar a contagem das soluções.

Subtraindo 1 de cada variável, temos:

\(x' = x - 1\)

\(y' = y - 1\)

\(z' = z - 1\)

onde agora \(x'\), \(y'\) e \(z'\) são números naturais não negativos. A partir disso, a nova equação se torna:

\(x' + y' + z' = 5\)

Agora, precisamos contar as soluções dessa nova equação, onde \(x'\), \(y'\) e \(z'\) podem assumir valores de 0 (inclusive). Para isso, utilizamos o princípio das combinações com repetição.

Com 5 "bolinhas" a serem distribuídas entre 3 "caixas" (representando \(x'\), \(y'\) e \(z'\)), podemos visualizar essa situação em termos de combinatória. Para realizar essa distribuição, precisamos contar o número de formas de colocar 2 separadores (ou palitos) entre as bolinhas.

Como temos 5 bolinhas e precisamos de 2 separadores, isso gera um total de \(5 + 2 = 7\) espaços a serem preenchidos. Desse total, queremos escolher 2 espaços que irão conter os separadores. O cálculo é feito da seguinte forma:

\(C_{7,2} = \dfrac{7!}{2! \times (7-2)!}\)

Calculando, temos:

\(C_{7,2} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = \dfrac{42}{2} = 21\)

Dessa forma, existem 21 soluções diferentes para a equação \(x + y + z = 8\) considerando \(x\), \(y\) e \(z\) como números naturais positivos.

Letra E