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Questão FC187849

Se a ideia de Mário for aceita pelo Diretório Acadêmico, qual será o número máximo de convidados premiados na festa?

Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)

CESGRANRIO · 2010

O Diretório Acadêmico de uma escola do interior paulista organizou uma festa para comemorar o sucesso dos seus estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Serão convidados para a festa 512 pessoas, dentre alunos, pais, professores e funcionários. Na festa serão sorteados diversos prêmios para os convidados que estiverem presentes, mas o Diretório Acadêmico ainda não resolveu a forma por meio da qual realizará o sorteio.

 

Para realizar o sorteio, Mário, um dos alunos premiados na OBMEP, sugeriu que fossem distribuídos para os convidados, aleatoriamente e juntamente com os convites, uma senha-matricial individual, única e intransferível, definida por uma matriz 3x3 cujos termos fossem iguais a 0 ou 1. A ideia de Mário era premiar, no dia da festa, aqueles convidados que apresentassem uma senha cuja matriz fosse simétrica.

 

Uma matriz quadrada \(A_{3 \times 3}\) é dita simétrica toda vez que a mesma for igual à sua transposta, ou ainda, quando seus termos \(a_{ij}\), \(i,j=1,2,3\), satisfizerem à condição \(a_{ij}=a_{ji}\), \(∀ i\), \(j=1,2,3\). Uma matriz simétrica possui uma estética peculiar, a saber, a sua diagonal principal funciona como um espelho, em torno do qual suas partes triangulares superior e inferior se igualam, uma como reflexo da outra.

 

Tal característica pode ser verificada, por exemplo, na matriz simétrica \(A_{3 \times 3}= \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\).

 

De acordo com a ideia de Mário, um convidado que fosse à festa e apresentasse em sua senha uma matriz como esta, seria um dos premiados.

 

Se a ideia de Mário for aceita pelo Diretório Acadêmico, qual será o número máximo de convidados premiados na festa?

  1. 4
  2. 8
  3. 16
  4. 64
  5. 128
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Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que nos apresenta o número máximo de matrizes simétricas \(3 \times 3\) que podem ser formadas com elementos iguais a 0 ou 1.

Uma matriz simétrica \(A_{3 \times 3}\) é caracterizada pela condição \(a_{ij} = a_{ji}\). Para uma matriz deste tipo, os elementos que determinam a simetria são:

  • Diagonal principal: \(a_{11}\), \(a_{22}\), \(a_{33}\)
  • Elementos fora da diagonal: \(a_{12} = a_{21}\), \(a_{13} = a_{31}\), \(a_{23} = a_{32}\)

Agora, vamos contar as possibilidades para cada um dos elementos:

  • Para \(a_{11}\), \(a_{22}\) e \(a_{33}\) (elementos da diagonal), cada um pode ser 0 ou 1. Portanto, temos:
    • 2 possibilidades para \(a_{11}\)
    • 2 possibilidades para \(a_{22}\)
    • 2 possibilidades para \(a_{33}\)
  • Para os elementos fora da diagonal, temos:
    • Para \(a_{12}\) e \(a_{21}\): 2 possibilidades (já que \(a_{21} = a_{12}\))
    • Para \(a_{13}\) e \(a_{31}\): 2 possibilidades (já que \(a_{31} = a_{13}\))
    • Para \(a_{23}\) e \(a_{32}\): 2 possibilidades (já que \(a_{32} = a_{23}\))

Logo, temos:

  • Diagonal principal contribui com \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\) possibilidades
  • Elementos fora da diagonal contribui com \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\) possibilidades

A quantidade total de matrizes simétricas é, portanto, dada pela multiplicação das possibilidades:

\(2^3 \times 2^3 = 8 \times 8 = 64\)

Dessa forma, o número máximo de convidados premiados na festa será de 64!

⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Princípio Fundamental da Contagem

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