Dois números naturais diferentes, N e M, são tais que N + M = 36. Quando N e M são escritos na base 5, tem-se que N = (xy)5 e M = (yx)5 , para determinados x e y, escolhidos entre

Gabarito

D

Comentário do professor

Para entender a questão, vamos focar na alternativa correta (D), que afirma que o maior dentre os números N e M é igual a 22.

Sabemos que N e M são representados na base 5 como:

\(N = (xy)_5\) e \(M = (yx)_5\)

Convertemos esses números para a base 10:

\(N = 5x + y\)

\(M = 5y + x\)

Com a condição de que \(N + M = 36\), somamos as duas expressões:

\(N + M = (5x + y) + (5y + x) = 6x + 6y = 36\)

Dividindo por 6, obtemos:

\(x + y = 6\)

Agora, como \(x\) e \(y\) são algarismos que podem variar de 0 a 4, as combinações válidas que satisfazem essa soma são:

• (2, 4),
• (4, 2).

As combinações (3, 3) não são aceitas, pois os números devem ser diferentes.

Assim, temos duas possibilidades para N e M:

• Se \(x = 2\) e \(y = 4\), então:

\(N = (24)_5\)

\(M = (42)_5\)

• Se \(x = 4\) e \(y = 2\), então:

\(N = (42)_5\)

\(M = (24)_5\)

Agora, converteremos \(M = (42)_5\) para a base 10:

\(M = 4 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0\)

\(= 20 + 2 = 22\)

Dessa forma, o maior dos números N e M é 22, que é exatamente a alternativa correta (D).