Desprezando-se a espessura do material do copo, qual deve ser a razão entre o lado do hexágono da base do copo de 500 mL e do copo de 300 mL?

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre o volume e as dimensões lineares de figuras semelhantes.

Volume e Semelhança: Quando duas figuras são semelhantes, a razão entre seus volumes é igual ao cubo da razão entre suas medidas lineares. Isso pode ser representado pela equação:

\(\dfrac {V_1}{V_2}=\left(\dfrac {l_1}{l_2}\right)^3\)

Onde:

• \( V_1 \) e \( V_2 \) são os volumes dos copos;
• \( l_1 \) e \( l_2 \) são as medidas lineares (como o lado do hexágono da base dos copos).

Os volumes dos copos de 300 mL e 500 mL são:

\( V_1 = 300 \, \text{mL} \) e \( V_2 = 500 \, \text{mL} \)

Substituindo esses valores na equação, temos:

\(\dfrac {500}{300}=\left(\dfrac {l_1}{l_2}\right)^3\)

Isso simplifica-se para:

\(\dfrac 53=\left(\dfrac {l_1}{l_2}\right)^3\)

Para encontrar a razão entre \( l_1 \) e \( l_2 \), precisamos extrair a raiz cúbica:

\(\dfrac {l_1}{l_2}=\sqrt[3]{\dfrac 53}\)

Podemos reescrever \(\dfrac 53\) como:

\(\dfrac {\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{3}}\)

Agora, para representar essa razão em forma de uma fração em que a parte de baixo seja um número inteiro, precisamos multiplicar e dividir por \(\sqrt[3]{3^2}\):

\(\dfrac {l_1}{l_2}=\dfrac {\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \dfrac {\sqrt[3]{5 \cdot 3^2}}{\sqrt[3]{3^3}} = \dfrac {\sqrt[3]{45}}{3}\)

Portanto, a razão entre o lado do hexágono da base do copo de 500 mL e do copo de 300 mL é dada por:

\(\large{\dfrac{\sqrt[3]{45}}{3}}\)