Quanto vale P quando Q vale \(\sqrt{80}\) e R vale \(\sqrt{180}\)?

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a situação em que P é uma grandeza diretamente proporcional a Q e inversamente proporcional a R.

Sabemos que a relação pode ser expressa pela fórmula:

\( P = k \cdot \frac{Q}{R} \)

onde k é uma constante de proporcionalidade. A partir das informações dadas, quando P vale 2, Q é \({\large \frac{2}{7}}\) e R é \({\large \frac{9}{14}}\).

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

\( 2 = k \cdot \frac{\frac{2}{7}}{\frac{9}{14}} \)

Para simplificar a fração \(\frac{\frac{2}{7}}{\frac{9}{14}}\), podemos reescrevê-la como:

\( \frac{2}{7} \cdot \frac{14}{9} = \frac{28}{63} = \frac{4}{9} \)

Assim, substituindo novamente, obtemos:

\( 2 = k \cdot \frac{4}{9} \)

Resolvendo para k, multiplicamos ambos os lados por \(\frac{9}{4}\):

\( k = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \)

Agora que temos a constante k\, vamos encontrar P para Q = \sqrt{80} e R = \sqrt{180}.

Substituindo na fórmula:

\( P = \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{180}} \)

Podemos simplificar \(\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{180}}\):

\( \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{180}} = \sqrt{\frac{80}{180}} = \sqrt{\frac{8}{18}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \)

Substituindo isso de volta na equação, teremos:

\( P = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} \)

Calculando, temos:

\( P = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{9}{3} = 3 \)

Portanto, o valor de P quando Q é \(\sqrt{80}\) e R é \(\sqrt{180}\) realmente é 3.

Assim, a alternativa correta é: A.