Questão FC188307
Em um determinado banco, atualmente, o investimento P conta com 6 vezes o número de clientes do investimento Q. Porém, anualmente, o número de clientes do investimento P decresce 8
Logaritmo
CESGRANRIO · 2024
Em um determinado banco, atualmente, o investimento P conta com 6 vezes o número de clientes do investimento Q. Porém, anualmente, o número de clientes do investimento P decresce 8%, enquanto o do investimento Q
cresce 14%.
Supondo-se que essas taxas se mantenham, esses dois investimentos terão o mesmo número de clientes em um total de anos dado por
- \({ \large 6 ⋅ log_{10} 1,14 \over log_{10} 0,92}\)
- \({ \large log_{10} 14 \over 6 ⋅ log_{10} 8}\)
- \({ \large log_{10} 6 \over log_{10} 14 - log_{10} 8}\)
- \({ \large 6 \over log_{10} 1,14 - log_{10} 0,92}\)
- \({ \large log_{10} 6 \over log_{10} 1,14 - log_{10} 0,92}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Para entender a alternativa correta da questão, que é:
\({ \large \dfrac{\log_{10} 6}{\log_{10} 1{,}14 - \log_{10} 0{,}92 }}\)
vamos analisar passo a passo.
Inicialmente, sabemos que o investimento P possui 6 vezes o número de clientes do investimento Q, ou seja:
\(P = 6 \cdot Q\)
Com o tempo, os clientes do investimento P decrescem 8% ao ano, enquanto os clientes de Q crescem 14% ao ano.
A cada ano, o número de clientes do investimento P após x anos pode ser representado como:
\(P \cdot (0{,}92)^x\)
Isso significa que, após x anos, o investimento P terá apenas 92% do total de clientes.
Por outro lado, para o investimento Q, o número de clientes pode ser representado como:
\(Q \cdot (1{,}14)^x\)
Aqui, o investimento Q terá 114% do total de clientes acumulados ao longo dos anos.
A igualdade do número de clientes entre os dois investimentos ocorre quando:
\((0{,}92)^x \cdot P = (1{,}14)^x \cdot Q\)
Substituindo a relação de P em termos de Q, temos:
\((0{,}92)^x \cdot (6 Q) = (1{,}14)^x \cdot Q\)
Podemos cancelar \(Q\) dos dois lados (desde que \(Q \neq 0\)), resultando em:
\((0{,}92)^x \cdot 6 = (1{,}14)^x\)
Agora, isolando a base 6, obtemos:
\(\dfrac{(1{,}14)^x}{(0{,}92)^x} = 6\)
Expressando isso como uma potência, podemos escrever:
\(\left(\dfrac{1{,}14}{0{,}92}\right)^x = 6\)
Para resolver para x, aplicamos o logaritmo em ambos os lados:
\(\log_{10} \left(\dfrac{1{,}14}{0{,}92}\right)^x = \log_{10} 6\)
Utilizando a propriedade do logaritmo de potências, temos:
\(x \cdot \log_{10} \left(\dfrac{1{,}14}{0{,}92}\right) = \log_{10} 6\)
Por fim, isolando x, obtemos:
\(x = \dfrac{\log_{10} 6}{\log_{10} 1{,}14 - \log_{10} 0{,}92}\)
Assim, a alternativa correta está fundamentada na aplicação das propriedades dos logaritmos, o que permite determinar o total de anos antes que os dois investimentos tenham o mesmo número de clientes.
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