qual o valor de \({ \large x \over y}\)?

Gabarito

D

Comentário do professor

A solução da equação dada, \( 2 \log(x - 2y) = \log x + \log y \), começa com a manipulação dos logaritmos.

Utilizando a propriedade dos logaritmos que afirma que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto, reescrevemos a equação:

\( 2 \log(x - 2y) = \log(xy) \)

A partir daí, aplicamos outra propriedade que permite ajustar a equação para obter um logaritmo como uma potência:

\( \log((x - 2y)^2) = \log(xy) \)

Ao eliminar os logaritmos, temos:

\( (x - 2y)^2 = xy \)

Expandindo a equação anterior resulta em:

\( x^2 - 4xy + 4y^2 = xy \)

Reorganizando, obtemos uma equação quadrática em termos de \( x \):

\( x^2 - 5xy + 4y^2 = 0 \)

Agora, utilizamos a Fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:

\( \Delta = (-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4y^2 \)

Calculando o discriminante, chegamos a:

\( \Delta = 25y^2 - 16y^2 = 9y^2 \)

Assim, podemos determinar as raízes:

\( x = \frac{5y \pm \sqrt{9y^2}}{2} \)

Essa expressão se simplifica para:

\( x = \frac{5y \pm 3y}{2} \)

Obtendo duas soluções:

\( x = 4y \quad \text{ou} \quad x = y \)

Porém, ao analisarmos as condições de validade no contexto dos logaritmos:

Precisamos garantir que \( x - 2y > 0 \), ou seja:

\( x > 2y \)

Dividindo ambos os lados por \( y \) (considerando que \( y > 0 \)), resulta em:

\( \frac{x}{y} > 2 \)

Disso, concluímos que a solução \( x = y \) não atende à condição imposta. Portanto, a única solução viável é:

\( \frac{x}{y} = 4 \)

Assim, confirmamos que o valor de \({\large \frac{x}{y}} = \color{brown}{4}\).