A sequência \({\begin{Bmatrix}a_n\end{Bmatrix}}_{nE\mathbb{N}}\)é uma progressão geométrica de termos positivos cuja razão é \({1\over 64}\). Considere \({\begin{Bmatrix}b_n\end{Bm

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que a sequência \({\begin{Bmatrix}b_n\end{Bmatrix}}_{nE\mathbb{N}}\) é uma progressão aritmética de razão \(-18\).

Começamos considerando a sequência \({\begin{Bmatrix}a_n\end{Bmatrix}}_{nE\mathbb{N}}\), que é uma progressão geométrica com razão \(q = \frac{1}{64}\) e termos positivos. Para simplificar, vamos assumir que o primeiro termo \(a_1\) é um valor que favoreça a nossa análise, como \(a_1 = 128\).

Os próximos termos podem ser calculados da seguinte maneira:

• O segundo termo é: \(a_2 = a_1 \times q = 128 \times \frac{1}{64} = 2\);
• O terceiro termo é: \(a_3 = a_2 \times q = 2 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{32}\).

Agora, para construir a sequência \({\begin{Bmatrix}b_n\end{Bmatrix}}_{nE\mathbb{N}}\), utilizamos a definição dada por \(b_n = \log_2((a_n)^3)\).

Vamos calcular os valores de \(b_n\) para os três primeiros termos:

• Para \(b_1\): \(b_1 = \log_2((128)^3) = 3 \times \log_2(128) = 3 \times 7 = 21\);
• Para \(b_2\): \(b_2 = \log_2((2)^3) = 3 \times \log_2(2) = 3 \times 1 = 3\);
• Para \(b_3\): \(b_3 = \log_2\left(\left(\frac{1}{32}\right)^3\right) = 3 \times \log_2\left(\frac{1}{32}\right) = 3 \times (-5) = -15\).

A sequência \({\begin{Bmatrix}b_n\end{Bmatrix}}\) agora é: \((21, 3, -15)\).

Observando os termos:

• Entre \(b_1\) e \(b_2\), temos: \(3 - 21 = -18\);
• Entre \(b_2\) e \(b_3\), temos: \(-15 - 3 = -18\).

Assim, a diferença entre cada par de termos é constante e vale \(-18\).

Portanto, concluímos que a sequência \({\begin{Bmatrix}b_n\end{Bmatrix}}\) é uma progressão aritmética com razão \(-18\.