Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor?

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos focar na alternativa correta (B): log 5.

No enunciado, o professor apresentou a expressão que representa a resposta como:

\(\frac{3pq}{1 + 3pq}\)

Primeiro, precisamos encontrar o valor de \(3pq\). Sabemos que:

1. \(8^{p} = 3\) e, portanto, \(p = \log_{8} 3\).

2. \(3^{q} = 5\) e, portanto, \(q = \log_{3} 5\).

A partir da relação \(3pq\), temos:

Substituindo \(p\) e \(q\) na expressão:

\(3pq = 3 \cdot \log_{8} 3 \cdot \log_{3} 5\).

Agora, usamos a base 10 para simplificar os logaritmos. A relação entre logaritmos de bases diferentes nos leva a:

\(\log_{8} 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 8}\)

\(\log_{3} 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 3}\)

Substituindo:

\(3pq = 3 \cdot \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 8} \cdot \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 3}\)

A expressão se simplifica para:

\(3pq = \frac{3 \log_{10} 5}{\log_{10} 8}\)

Substituímos este valor na expressão dada pelo professor:

\(\frac{3pq}{1 + 3pq} = \frac{\frac{3 \log_{10} 5}{\log_{10} 8}}{1 + \frac{3 \log_{10} 5}{\log_{10} 8}}\)

Ao simplificarmos a expressão, encontramos que o resultado é:

\(log 5\)

Assim, confirmamos que a resposta correta é log 5.