O valor de log4[(88+ 88 + 88 + 88 + 88 + 88 + 88 + 88 )2] é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é 27, passo a passo.

Começamos reescrevendo o logaritmo do enunciado:

\(\log_4 [(8^8+8^8+8^8+8^8+8^8+8^8+8^8+8^8)]^2\)

O termo \(8^8\) se repete 8 vezes, então podemos simplificar:

\(\log_4 [(8 \cdot 8^8)]^2\)

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, obtemos:

\(\log_4 (8^2 \cdot (8^8)^2)\)

Separando novamente os logaritmos, temos:

\(\log_4 8^2 + \log_4 (8^8)^2\)

Perceba que \((8^8)^2\) pode ser reescrito como \(8^{16}\), então:

\(\log_4 8^2 + \log_4 8^{16}\)

Aplique a propriedade do logaritmo da potência:

\(\log_4 8^2 + 16 \cdot \log_4 8\)

Agora, simplificamos cada logaritmo. Começando por \(\log_4 8^2\), que é:

\(\log_4 (4^{3})\)

Isso pode ser simplificado para:

\(3 \cdot \log_4 4\) que é igual a 3.

Assim, temos:

\(3 + 16 \cdot \log_4 8\)

Para encontrar \(\log_4 8\), notamos que \(8 = 2^3\), portanto:

\( \log_4 8 = \log_4 (2^3) = 3 \cdot \log_4 2\)

Sabemos que \( \log_4 2 = \frac{1}{2} \) porque \(4 = 2^2\), assim:

\( \log_4 8 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Substituindo na expressão anterior:

\(3 + 16 \cdot \frac{3}{2} = 3 + 24 = 27\)

Portanto, o valor de \(\log_4 [(8^8 + 8^8 + 8^8 + 8^8 + 8^8 + 8^8 + 8^8 + 8^8)]^2\) é \(\textbf{27}\).

Letra C