Se a e b são números reais positivos tais que \(2\,< log_3(a) - log_3(b) < 3\) então o número real \({ \large b \over a}\) pertence ao intervalo real

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Alternativa Correta: C

Vamos analisar a desigualdade dada:

\(2 < \log_3(a) - \log_3(b) < 3\)

Utilizando a propriedade fundamental dos logaritmos, podemos reescrever a diferença dos logaritmos como o logaritmo do quociente:

\(2 < \log_3\left(\frac{a}{b}\right) < 3\)

Agora, vamos transformar essa inequação em uma forma mais acessível. Usando a definição de logaritmo, onde se \( \log_y(x) = z \) implica que \( x = y^z \), obtemos:

\(3^2 < \frac{a}{b} < 3^3\)

Calculando os valores:

\(9 < \frac{a}{b} < 27\)

Até aqui, temos o intervalo para \( \frac{a}{b} \). No entanto, precisamos encontrar o intervalo para \( \frac{b}{a} \). Para isso, invertemos a fração:

Elevando toda a inequação a \(-1\), resulta em:

\(\frac{1}{27} < \frac{b}{a} < \frac{1}{9}\)

Assim, concluímos que o número real \( \frac{b}{a} \) pertence ao intervalo:

\(\left(\frac{1}{27}, \frac{1}{9}\right)\)

Portanto, a alternativa correta é a letra C.