Seja a função \(\text{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definida por \(\text{f(x)} = 10^{\beta \text{x}} \ (\beta \in \mathbb{R}^*)\), representada pelo gráfico acima. O valor de lo

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta: −3.

Temos a função \( f(x) = 10^{\beta x} \) e precisamos calcular \( \log_{10}(f(6)) \).

Primeiro, vamos usar a definição de \( f(x) \):

\( f(6) = 10^{\beta \cdot 6} \).

Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo:

\( \log_{10}(f(6)) = \log_{10}(10^{\beta \cdot 6}) \).

Como \( \log_{10}(10^x) = x \), temos:

\( \log_{10}(f(6)) = \beta \cdot 6 \).

Agora precisamos determinar o valor de \( \beta \). Podemos usar o ponto dado no gráfico, que sabemos que é \( (2; 0,1) \):

\( 0,1 = 10^{2\beta} \).

Convertendo \( 0,1 \) para fração, temos:

\( \frac{1}{10} = 10^{2\beta} \).

Agora, aplicamos o logaritmo em ambos os lados:

\( \log_{10}(\frac{1}{10}) = \log_{10}(10^{2\beta}) \).

Pela propriedade do logaritmo do quociente, sabemos que:

\( \log_{10}(1) - \log_{10}(10) = 2\beta \).

Sabemos que \( \log_{10}(1) = 0 \) e \( \log_{10}(10) = 1 \). Assim:

\( 0 - 1 = 2\beta \implies -1 = 2\beta \implies \beta = -\frac{1}{2}. \)

Portanto, substituímos \( \beta \) na fórmula de \( \log_{10}(f(6)) \):

\( \log_{10}(f(6)) = -\frac{1}{2} \cdot 6 = -3. \)

Assim, o valor de \( \log_{10}(f(6)) \) é de fato igual a −3. Portanto, a alternativa correta é −3.