Qual a idade do mais velho do grupo de amigos?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Na questão apresentada, o objetivo é determinar a idade do amigo mais velho dentre um grupo de cinco. Sabemos que apenas quatro deles podem jogar em cada rodada, e a soma das idades das mesas varia ao longo das rodadas.

Primeiramente, reconhecemos que, com cinco amigos, é possível formar cinco grupos diferentes de quatro pessoas. Cada amigo, por sua vez, participará do jogo em quatro rodadas. Assim, a soma total das idades em todas as rodadas pode ser expressa em termos da soma das idades dos cinco amigos:

Seja \( a, b, c, d, e \) as idades dos cinco amigos. As somas das idades em cada rodada são dadas por:

• 1ª Rodada: \( S_1 = a + b + c + d \)
  (soma mais baixa)
• 2ª Rodada: \( S_2 = a + b + c + e \)
• 3ª Rodada: \( S_3 = a + b + d + e \)
• 4ª Rodada: \( S_4 = a + c + d + e \)
• 5ª Rodada: \( S_5 = b + c + d + e \)
  (soma mais alta)

Somando todas essas expressões, obtemos:

\( S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = 4(a + b + c + d + e) \)

Substituindo os valores das somas fornecidos:

\( 122 + 136 + 142 + 149 + 155 = 704 \)

Portanto, temos:

\( 4 \times (a + b + c + d + e) = 704 \)

Dividindo ambos os lados por 4:

\( a + b + c + d + e = 176 \)

A primeira rodada apresenta a menor soma, ou seja, a soma das idades dos quatro amigos mais novos. Para encontrar a idade do amigo mais velho \( e \), podemos subtrair a soma das idades dos quatro amigos mais novos (que corresponde à primeira rodada) da soma total das idades:

\( e = 176 - (a + b + c + d) = 176 - 122 \)

Assim, temos:

\( e = 54 \)

Portanto, a idade do mais velho do grupo de amigos é 54 anos, que corresponde à alternativa correta.