Quantos reais pagou o quarto amigo?

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar o problema e entender como chegamos à solução que indica que o quarto amigo pagou R$ 26,00.

Definimos as quantias pagas pelos amigos como \( a \), \( b \), \( c \) e \( d \), onde cada letra representa o valor pago por cada um dos quatro amigos, respectivamente. A soma total dos pagamentos deve ser igual a R$ 120,00:

\( a + b + c + d = 120 \) (1)

Conforme a questão, sabemos as seguintes informações sobre as contribuições de cada amigo:

• O primeiro amigo pagou metade da quantia paga pelos outros três juntos, então podemos escrever:

\( a = \frac{b + c + d}{2} \)

• O segundo amigo pagou um terço da quantia paga pelos outros três, que se expressa como:

\( b = \frac{a + c + d}{3} \)

• O terceiro amigo pagou um quarto da quantia total dos outros três amigos, representado por:

\( c = \frac{a + b + d}{4} \)

A partir da primeira equação (1), podemos substituir as expressões para \( a \), \( b \) e \( c \) para encontrar \( d \).

Vamos resolver as equações passo a passo:

\( \frac{b+c+d}{2} + b + c + d = 120 \)

\( b + c + d + 2b + 2c + 2d = 240 \, \Rightarrow \, 3b + 3c + 3d = 240 \, \Rightarrow \, b + c + d = 80 \) (2)

\( a + \frac{a+c+d}{3} + c + d = 120 \)

\( 3a + a + c + d = 360 \, \Rightarrow \, 4a + c + d = 360 \) (3)

\( a + b + \frac{a + b + d}{4} + d = 120 \)

\( 4a + 4b + a + b + d = 480 \, \Rightarrow \, 5a + 5b + d = 480 \) (4)

A partir das equações (2), (3) e (4), podemos acompanhar os valores relativos de \( b \), \( c \) e \( d \).

Sabemos que, ao somar os valores pagos pelos amigos, temos:

\( a = 40, b = 30, c = 24 \, \Rightarrow \, 40 + 30 + 24 + d = 120 \)

Substituindo na equação, encontramos:

\( d = 120 - 94 = 26 \)

Portanto, o quarto amigo pagou a quantia de R$ 26,00.