Considere x e y duas grandezas que se relacionam por meio de uma função, expressa pela lei y = f(x) = ax2 + bx + c, com x variando continuamente no intervalo [0;100]. Sabe-se que a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que nos indica que o valor de \( y \) quando \( x = 85 \) é 285.

Começamos a partir da função quadrática dada por \( y = f(x) = ax^2 + bx + c \). De acordo com as informações fornecidas, sabemos que:

1. \( f(0) = 200 \) significa que, quando \( x = 0 \), o valor de \( y \) é 200. Isso nos permite estabelecer que \( c = 200 \). Logo, podemos reescrever a função como:

\( f(x) = ax^2 + bx + 200 \)

2. A segunda informação, \( f(45) = 605 \), indica que quando \( x = 45 \), \( y \) atinge 605. Substituindo na função, obtemos:

\( 605 = a \cdot 45^2 + b \cdot 45 + 200 \)

Após simplificarmos, temos:

\( 2025a + 45b = 405 \)

3. Como o valor máximo ocorre em \( x = 45 \), sabemos que a derivada da função neste ponto é zero. A derivada é dada por:

\( f'(x) = 2ax + b \)

Portanto, ao substituir \( x = 45 \), temos:

\( 90a + b = 0 \)

Isso nos dá uma relação entre \( a \) e \( b \): \( b = -90a \).

4. Substituindo este valor de \( b \) na equação anterior \( 2025a + 45b = 405 \), chegamos a:

\( 2025a - 4050a = 405 \)

De onde deduzimos que:

\( -2025a = 405 \implies a = -\frac{405}{2025} = -0,2 \)

5. Com \( a \) determinado, encontramos \( b \) assim:

\( b = -90 \cdot (-0,2) = 18 \)

6. Agora, podemos reescrever a função completa:

\( f(x) = -0,2x^2 + 18x + 200 \)

7. Por fim, substituindo \( x = 85 \) para encontrar \( y \):

\( f(85) = -0,2 \cdot 85^2 + 18 \cdot 85 + 200 \)

Calculando, temos:

\( f(85) = -1445 + 1530 + 200 = 285 \)

Portanto, a alternativa correta é a letra E, cujo valor de \( y \) é 285.