Questão FC188422
Para b \(\in \mathbb{R}\), considere a equação 2x + b = x2 - 2x - 4. A equação dada possui 2 raízes reais distintas quando, e apenas quando,
Equações
CESGRANRIO · 2022
Para b \(\in \mathbb{R}\), considere a equação 2x + b = x2 - 2x - 4.
A equação dada possui 2 raízes reais distintas quando, e apenas quando,
- b < 8
- b > -8
- b = -8
- b < 0
- b ≠ -4
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Gabarito
B
Comentário do professor
Para analisar a alternativa correta (B), que é b > -8, precisamos entender as condições necessárias para que a equação apresentada tenha duas raízes reais distintas.
A equação fornecida é:
\(2x + b = x^2 - 2x - 4\)
Podemos reescrever essa equação na forma padrão de uma equação do 2º grau:
\(x^2 - 4x - (b + 4) = 0\)
Identificamos que a equação é da forma \(ax^2 + bx + c = 0\), onde:
- a = 1
- b = -4
- c = - (b + 4)
Para que essa equação tenha duas raízes reais distintas, o discriminante \( \Delta \) deve ser positivo. O discriminante é dado por:
\( \Delta = b^2 - 4ac\)
Substituindo os valores:
\( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(b + 4))\)
Isso resulta em:
\( \Delta = 16 + 4(b + 4)\)
Simplificando, obtemos:
\( \Delta = 16 + 4b + 16\)
Assim, \( \Delta = 4b + 32\).
A condição para que haja duas raízes reais distintas é que:
\(4b + 32 > 0\)
Resolvendo essa inequação, temos:
\(4b > -32\)
Ao dividir ambos os lados por 4, chegamos à conclusão:
\(b > -8\)
Portanto, a afirmação de que a equação dada possui duas raízes reais distintas quando b > -8 está correta, fazendo da alternativa (B) a resposta certa.
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