Quantos valores reais de x fazem com que a expressão \((\mathsf{x}^2-5\mathsf{x}+5)^{\mathsf{x}^2+4\mathsf{x}-60}\) assuma valor numérico igual a 1?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para que a expressão \((\mathsf{x}^2-5\mathsf{x}+5)^{\mathsf{x}^2+4\mathsf{x}-60}\) assuma o valor numérico igual a 1, devemos analisar duas situações principais:

1. **Quando o expoente é igual a zero:**
Qualquer número (\(\ne 0\)) elevado a zero é 1. Portanto, precisamos resolver a equação:

\( \mathsf{x}^2 + 4\mathsf{x} - 60 = 0 \)

Calculamos o discriminante:

\( \Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times (-60) = 16 + 240 = 256 \)

Em seguida, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

\( \mathsf{x} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2 \times 1} \)

\( \mathsf{x} = \frac{-4 \pm 16}{2} \)

Daí obtemos dois valores:

\( \mathsf{x}_1 = 6 \quad \text{e} \quad \mathsf{x}_2 = -10 \)

2. **Quando a base é igual a 1:**
Nesse caso, a expressão \((\mathsf{x}^2-5\mathsf{x}+5)\) deve ser igual a 1:

\( \mathsf{x}^2 - 5\mathsf{x} + 5 = 1 \)

\( \mathsf{x}^2 - 5\mathsf{x} + 4 = 0 \)

Calculando o discriminante novamente:

\( \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9 \)

Novamente, aplicando a fórmula de Bhaskara:

\( \mathsf{x} = \frac{5 \pm 3}{2} \)

Os resultados são:

\( \mathsf{x}_1 = 4 \quad \text{e} \quad \mathsf{x}_2 = 1 \)

Portanto, já temos quatro valores (\(-10, 6, 4, 1\)).

3. **Quando a base é igual a -1 e o expoente é par:**
Neste caso, temos:

\( \mathsf{x}^2 - 5\mathsf{x} + 5 = -1 \)

\( \mathsf{x}^2 - 5\mathsf{x} + 6 = 0 \)

Calculando o discriminante:

\( \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 \)

Novamente usando a fórmula de Bhaskara:

\( \mathsf{x} = \frac{5 \pm 1}{2} \)

Os valores obtidos são:

\( \mathsf{x}_1 = 3 \quad \text{e} \quad \mathsf{x}_2 = 2 \)

Entretanto, precisamos verificar se o expoente é par:

Para \(\mathsf{x} = 3\): \( 3^2 + 4 \cdot 3 - 60 = -39\) (ímpar), logo não conta.
Para \(\mathsf{x} = 2\): \( 2^2 + 4 \cdot 2 - 60 = -48\) (par), então conta.

Assim, acrescentamos o valor de \(\mathsf{x} = 2\) aos já encontrados, totalizando:

\(-10, 6, 1, 4 \,\text{e}\, 2 \to 5 \text{ valores}\).

Portanto, a alternativa correta é a letra **D**, com 5 valores reais de \( \mathsf{x} \) que tornam a expressão igual a 1.