Se x é um número real tal que \(0 \, < \, x \, < \, 1,\) e \(y \, = \, \dfrac {x \, + \, x^2} {2},\) então tem-se que

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (D), que afirma que \(x^2 < y < x\).

Temos a definição de \(y\) dada por:

\(y = \dfrac{x + x^2}{2}\).

Sabemos que \(x\) é um número real tal que \(0 < x < 1\). Vamos iniciar a demonstração da desigualdade.

Primeiramente, note que \(x^2\) é sempre menor que \(x\) dentro deste intervalo, ou seja:

\(0 < x^2 < x\).

Agora, vamos somar \(x\) a todos os termos da desigualdade inicial:

\(x < x + x^2 < 2x\).

Ao dividir toda a desigualdade por 2, obtemos:

\(\dfrac{x}{2} < \dfrac{x + x^2}{2} < x\),

o que nos proporciona a expressão:

\(\dfrac{x}{2} < y < x\).

Perceba que, para mostrar \(y > x^2\), podemos observar que:

\(x^2 < x\) (já estabelecido anteriormente).

Agora, basta verificar o lado esquerdo da desigualdade original. Sabemos que:

\(x^2 < x\) e que \(y = \dfrac{x + x^2}{2} > x^2\),

pois \(x + x^2 > 2x^2\) (adicionando \(x^2\) a ambos os lados) implica:

\(y = \dfrac{x + x^2}{2} > x^2\).

Com isso, confirmamos que:

\(x^2 < y < x\).

Assim, a alternativa correta (D) é verdadeira, pois conseguimos demonstrar que \(y\) está efetivamente entre \(x^2\) e \(x\).