Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2. E1 x2 + 2x − 15 = 0 E2 x2 − bx + 12 = 0 Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz d

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é 4.

Primeiramente, resolvemos a equação E₁, que é dada por:

\(x^2 + 2x - 15 = 0\)

Para resolver essa equação, aplicamos a Fórmula de Bháskara, onde a fórmula geral é:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Primeiro, precisamos calcular o discriminante \( \Delta \):

\( \Delta = b^2 - 4ac\)

\( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\)

Agora, aplicamos a fórmula:

\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 8}{2}\)

Isso nos dá as raízes:

\(x_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3\)

A maior raiz de E₁ é, portanto, \(x = 3\).

De acordo com o enunciado, essa maior raiz de E₁ é igual à menor raiz de E₂. Assim, temos:

\(x_{\text{menor}} \text{ de } E_2 = 3\)

Agora, substituímos essa raiz na equação E₂:

\(x^2 - bx + 12 = 0\)

Substituindo \(x = 3\), obtemos:

\(3^2 - b \cdot 3 + 12 = 0\)

\(9 - 3b + 12 = 0\)

\(3b = 21 \Rightarrow b = 7\)

Assim, a equação E₂ se torna:

\(x^2 - 7x + 12 = 0\)

Agora, para encontrar a maior raiz de E₂, novamente usamos a Fórmula de Bháskara:

\( \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\)

Aplicando a fórmula, encontramos as raízes:

\(x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}\)

\(x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4\)

Dessa forma, a maior raiz de E₂ é \(x = 4\).

Portanto, a alternativa correta é 4.