A média harmônica de dois números é o inverso da média aritmética dos inversos desses números. Se a média harmônica das raízes da equação 8x2+px+p+17=0 é igual a 3/7, então,

Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa correta é p = -14.

Para entender por que esse valor de p é a resposta correta, precisamos revisar a relação entre a média harmônica das raízes da equação e os coeficientes dessa equação quadrática.

A média harmônica de duas raízes x₁ e x₂ é dada pela fórmula:

\(\bar{h} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}}\)

Sendo assim, sabemos que a média harmônica das raízes é igual a 3/7, ou seja:

\(\dfrac{3}{7} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}}\)

Se reorganizarmos a equação, temos:

\(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{14}{3}\)

Agora, vamos identificar os coeficientes da equação 8x² + px + (p + 17) = 0.

Utilizando as fórmulas da soma e do produto das raízes:

Soma das raízes: \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{p}{8}\)

Produto das raízes: \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{p + 17}{8}\)

Substituindo essas fórmulas na relação que obtivemos para as somas dos inversos das raízes:

\(-\dfrac{p}{8} = \dfrac{14}{3} \cdot \dfrac{p + 17}{8}\)

Eliminando o denominador e resolvendo a equação resultante:

\(-3p = 14(p + 17)\)

Reorganizando os termos obtivemos:

\(-3p = 14p + 238\)

Isso leva à equação:

\(17p = -238\)

E ao dividir, encontramos:

\(p = -\dfrac{238}{17} = -14\)

Portanto, a alternativa correta é p = -14.