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Questão FC188433

Sejam x1 e x2 as raízes reais da equação x2 + bx + c = 0. Para que x1 = 2x2, é necessário que c seja igual a

Equações

CESGRANRIO · 2010

Sejam x1 e x2 as raízes reais da equação x2 + bx + c = 0. Para que x1 = 2x2, é necessário que c seja igual a

  1. \(\dfrac {2b^2} 9\)
  2. \(\dfrac {2b^2} 3\)
  3. \(b^2\)
  4. \(\dfrac b 9\)
  5. \(\dfrac b 3\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão, começamos analisando a equação do 2º grau:

\(x^2 + bx + c = 0\)

Com as raízes reais \(x_1\) e \(x_2\), sabemos que:

Soma das raízes: \(x_1 + x_2 = \frac{-b}{1}\)

Produto das raízes: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1}\)

Na questão, é dado que \(x_1 = 2x_2\). Assim, podemos substituir esta relação na fórmula da soma das raízes:

\(2x_2 + x_2 = \frac{-b}{1}\)

Isso simplifica para: \(3x_2 = -b\)

Portanto, isolando \(x_2\), temos: \(x_2 = \frac{-b}{3}\)

Agora, seguindo com o produto das raízes, substituímos \(x_1\) e \(x_2\) na fórmula:

\(x_1 \cdot x_2 = 2x_2 \cdot x_2 = \frac{c}{1}\)

Substituindo \(x_2\) que encontramos anteriormente:

\(2 \cdot \left(\frac{-b}{3}\right)^2 = c\)

Isso se torna:

\(2 \cdot \frac{b^2}{9} = c\)

Assim, podemos reescrever \(c\) como:

\(c = \frac{2b^2}{9}\)

Portanto, a alternativa correta é:

\(\dfrac{2b^2}{9}\)

Dessa forma, concluímos que para satisfazer a condição dada no problema, \(c\) deve ser igual a \(\dfrac{2b^2}{9}\).

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