Quantas soluções reais distintas tem essa equação?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a equação 4^x – 5·2^x – 6 = 0, vamos primeiro reescrevê-la utilizando a base 2:

\( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \)

Assim, a equação se torna:

\( (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 6 = 0 \)

Vamos fazer a substituição \( 2^x = y \). A equação agora fica:

\( y^2 - 5y - 6 = 0 \)

Para determinar o número de soluções reais dessa equação, calculamos o discriminante:

\( \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \)

\( \Delta = 25 + 24 = 49 \)

Como \( \Delta > 0 \), a equação quadrática possui duas raízes distintas.

Aplicando a Fórmula de Bháskara:

\( y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \)

\( y = \frac{5 \pm 7}{2} \)

As soluções são:

\( y_1 = \frac{12}{2} = 6 \) e \( y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)

Agora, substituímos de volta para encontrar \( x \):

Para \( y_1 = 6 \):

\( 2^x = 6 \)

Isso resulta em:

\( x_1 = \log_2 6 \), que é uma solução real.

Para \( y_2 = -1 \):

\( 2^x = -1 \)

Entretanto, não existe \( x \in \mathbb{R} \) que satisfaça esta equação, pois a função exponencial \( 2^x \) nunca assume valores negativos.

Dessa forma, a única solução real distinta para a equação original é uma.

Assim, a alternativa correta é:

Letra B