Considerando-se a equação \(\frac{6^{x-1}+6^{x-2}}{6^{1-x}+6^{2-x}}=1\), a soma de todos os elementos de seu conjunto solução é igual a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a equação \(\frac{6^{x-1}+6^{x-2}}{6^{1-x}+6^{2-x}}=1\), vamos simplificar as expressões no numerador e no denominador.

Podemos reescrever o numerador da seguinte forma: \[ 6^{x-1}+6^{x-2} = \frac{6^x}{6} + \frac{6^x}{6^2} = \frac{6^x}{6} \left( 1 + \frac{1}{6} \right) = \frac{6^x \cdot 7}{6^2} \]

Agora, vejamos o denominador: \[ 6^{1-x}+6^{2-x} = \frac{6}{6^x} + \frac{36}{6^x} = \frac{42}{6^x} \]

Substituindo o numerador e o denominador em nossa equação: \[ \frac{\frac{6^x \cdot 7}{6^2}}{\frac{42}{6^x}} = 1 \]

Multiplicando cruzado, temos: \[ 6^{2x} \cdot 7 = 42 \cdot 6^2 \]

Assim, simplificamos: \[ 6^{2x} = \frac{42 \cdot 36}{7} = 216 \]

Como \(216\) é igual a \(6^3\), podemos igualar os exponenciais: \[ 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \]

Portanto, a solução da equação é \(x = 1{,}5\), o que corresponde à alternativa correta que solicitamos.