Qual o menor valor de x que torna a expressão 9x − 7 . 3x + 10 = 0 verdadeira?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para determinar o menor valor de \(x\) que satisfaz a equação \(9^x - 7 \cdot 3^x + 10 = 0\), começamos reescrevendo o termo \(9^x\) em função de \(3^x\). Note que podemos expressar \(9^x\) como \((3^x)^2\), o que nos leva à seguinte forma:

\((3^x)^2 - 7 \cdot 3^x + 10 = 0\)

Definiremos \(y = 3^x\). Dessa maneira, a equação se transforma em uma equação do segundo grau:

\(y^2 - 7y + 10 = 0\)

Agora, aplicamos a fórmula de Bháskara, dada por:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Para nossa equação, temos \(a = 1\), \(b = -7\) e \(c = 10\). Calculando o discriminante:

\(b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\)

Agora, substituímos na fórmula de Bháskara:

\(y = \frac{7 \pm 3}{2}\)

Calculando as soluções, obtemos:

\(y_1 = \frac{10}{2} = 5\) e \(y_2 = \frac{4}{2} = 2\)

Agora, precisamos encontrar os valores de \(x\). Sabemos que:

\(3^x = 5 \quad \text{e} \quad 3^x = 2\)

Reescrevendo essas expressões em logaritmos, temos:

\(x_1 = \log_3 5 \quad \text{e} \quad x_2 = \log_3 2\)

Como buscamos o menor valor de \(x\), devemos considerar o logaritmo com o menor argumentado. Assim, \(x_2 = \log_3 2\) é o menor.

Utilizando a mudança de base, temos:

\(x_2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 3}\)

A partir dos dados fornecidos, sabemos que \( \log 2 = 0,3\) e \( \log 3 = 0,48\). Substituindo esses valores:

\(x_2 = \frac{0,3}{0,48} \approx 0,625\)

Portanto, o menor valor de \(x\) que torna a expressão verdadeira é:

0,625