Qual o maior valor de k na equação log(kx) = 2log(x+3) para que ela tenha exatamente uma raiz?

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é o valor \( k = 12 \) na equação:

\(\log(kx) = 2\log(x+3)\)

Primeiro, aplicamos a propriedade do logaritmo que transforma a equação:

\(\log(kx) = \log((x+3)^2)\)

Eliminando os logaritmos, temos:

\(kx = (x + 3)^2\)

Expandindo o lado direito, obtemos:

\(kx = x^2 + 6x + 9\)

Reorganizando a equação, chegamos a:

\(x^2 + (6 - k)x + 9 = 0\)

Para que essa equação quadrática tenha exatamente uma raiz, o discriminante deve ser igual a zero:

\(\Delta = (6 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0\)

Isso simplifica para:

(6 - k)^2 - 36 = 0

Resolvendo essa equação, temos:

\(36 - 12k + k^2 - 36 = 0\)

Que se rearranja para:

\(k^2 - 12k = 0\)

Fatorando, encontramos:

\(k(k - 12) = 0\)

Portanto, as soluções possíveis são \( k = 0 \) ou \( k = 12 \). Como queremos o maior valor de \( k \) que satisfaça a condição da equação ter exatamente uma raiz, selecionamos:

\(k = 12\)

Assim, a alternativa correta é a letra E.