Qual é o produto das raízes da equação [log(x)]2 - log(x2) - 3 = 0

Gabarito

D

Comentário do professor

Com o objetivo de determinar o produto das raízes da equação dada, primeiramente resolvemos a equação logarítmica:

\([\log(x)]^2 - \log(x^2) - 3 = 0\)

Utilizando a propriedade do logaritmo da potência, podemos reescrever \(\log(x^2)\) como \(2 \log(x)\). Assim, a equação transforma-se em:

\([\log(x)]^2 - 2 \log(x) - 3 = 0\)

Essa é uma equação do segundo grau na forma \(a \cdot z^2 + b \cdot z + c = 0\), onde \(z = \log(x)\), \(a = 1\), \(b = -2\) e \(c = -3\).

Aplicamos a fórmula de Bháskara para determinar as raízes:

\(\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)

Substituindo na fórmula das raízes:

\(\log(x) = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2}\)

Daí, encontramos:

\(\log(x) = \begin{cases} 3 \\ -1 \end{cases}\)

Isso resulta em duas soluções para \(x\):

\(x = 10^3 = 1000\) e \(x = 10^{-1} = 0.1\)

Agora, para calcular o produto das raízes, multiplicamos as soluções:

\(1000 \cdot 0.1 = 10^{3 + (-1)} = 10^2 = 100\)

Dessa forma, o produto das raízes da equação logarítmica é 100.