Um reservatório, completamente fechado e contendo ar, está conectado a uma bomba de vácuo. A bomba ligada, por um minuto, retira 10% da quantidade de ar desse reservatório. Quantos

Gabarito

D

Comentário do professor

Na alternativa correta, que corresponde à letra D, concluímos que a bomba deve ficar ligada por aproximadamente 22 minutos para retirar 90% da quantidade de ar do reservatório.

Para entender essa solução, vamos analisar o que acontece a cada minuto que a bomba está ativa:

Inicialmente, a bomba retira 10% do total de ar a cada minuto, ou seja, ao final de cada minuto, a quantidade de ar que permanece no reservatório é 90% da quantidade de ar do minuto anterior.

Se chamarmos a quantidade inicial de ar de \( \mathbf{x} \), em 1 minuto, o ar restante será:

\( 0,9 \cdot x \)

Em 2 minutos, a situação se torna:

\( 0,9 \cdot 0,9 \cdot x = 0,9^2 \cdot x \)

Esse padrão se repete, então, em n minutos, temos:

\( 0,9^n \cdot x \)

Para retirarmos 90% do ar, precisamos que sobre apenas 10% da quantidade inicial. Assim, devemos resolver a equação:

\( 0,9^n \cdot x = 0,1 \cdot x \)

Podemos simplificar \( x \) em ambos os lados, dando a equação:

\( 0,9^n = 0,1 \)

A partir daqui, aplicamos o logaritmo em ambos os lados:

\( \log(0,9^n) = \log(0,1) \)

Isso resulta em:

\( n \cdot \log(0,9) = \log(0,1) \)

Utilizando os dados fornecidos, substituímos:\( \log(0,9) = \log\left(\frac{9}{10}\right) = \log(9) - \log(10) \)

Sabemos que \( \log(9) \) pode ser escrito como \( 2 \cdot \log(3) \), levando a:

\( n \cdot (2 \cdot 0,477 - 1) = -1 \)

Resolvendo esta equação:

\( n \cdot (-0,046) = -1 \)

\( n \approx 21,74 \, \text{minutos} \)

Arredondando, concluímos que a bomba deve ser ligada por aproximadamente 22 minutos para que o reservatório fique com apenas 10% do ar original, ou seja, para remover 90% da quantidade de ar.