Os valores a e b que atendem ao sistema \(\begin{cases} \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt[4] {2} \\ \log_2 \, a + \log_2 \, b = 3 \end{cases}\) são também raízes da equação do segundo gr

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos encontrar os valores de \( a \) e \( b \) que satisfazem o sistema de equações dado:

\(\begin{cases} \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt[4]{2} \\ \log_2 \, a + \log_2 \, b = 3 \end{cases}\)

Vamos analisar cada equação separadamente.

1. Analisando a segunda equação:

A equação \(\log_2 \, a + \log_2 \, b = 3\) pode ser reescrita utilizando a propriedade dos logaritmos, que diz que a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto:

\(\log_2 (ab) = 3\)

Convertendo isso para a forma exponencial, obtemos:

\(ab = 2^3\)

Portanto, temos que:

\(ab = 8\)

2. Analisando a primeira equação:

Na equação \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt[4]{2}\), vamos elevar os dois lados ao quadrado:

\((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt[4]{2})^2\)

Isso resulta em:

\(a + b + 2\sqrt{ab} = 2^{\frac{1}{2}}\)

Como sabemos que \(ab = 8\), substituímos na equação:

\(a + b + 2\sqrt{8} = \sqrt{2}\)

Assim, temos:

\(a + b + 4\sqrt{2} = \sqrt{2}\)

Rearranjando essa equação, obtemos:

\(a + b = \sqrt{2} - 4\sqrt{2} = -3\sqrt{2}\)

Agora que encontramos \( a + b = -3\sqrt{2} \) e \( ab = 8 \), podemos determinar as raízes da equação quadrática que possui \( a \) e \( b \) como raízes.

Uma equação do segundo grau na forma \( x^2 - Sx + P = 0 \) possui como soma das raízes \( S = a + b \) e produto das raízes \( P = ab \).

Portanto:

\( S = -3\sqrt{2} \)

\( P = 8 \)

Finalmente, procuramos o produto:

\( S \cdot P = (-3\sqrt{2}) \cdot 8 = -24\sqrt{2} \)

Assim, a resposta correta para a questão é que o produto \( S \cdot P \) é igual a -24\sqrt{2}.