Há um único número real, x0, tal que: \(\bullet\) \(\times_0 \, \notin \, \mathbb{Z}\) \(\bullet\) \(( \times_0)^2 \, = \, 2^{\times_0}\) O número x0 pertence ao intervalo real

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (B), que afirma que o número \(x_0\) pertence ao intervalo \(-1 < x_0 < 0\).

Primeiro, temos a equação \(x^2 = 2^x\), onde \(x\) não pode ser um número inteiro, conforme a condição \(x \notin \mathbb{Z}\).

Para encontrar o valor de \(x_0\), é útil considerar as propriedades das funções envolvidas:

• A função \(x^2\) é uma parábola que se abre para cima e é sempre positiva para \(x \neq 0\).
• A função \(2^x\) é uma função exponencial que decresce para valores negativos de \(x\) e cresce rapidamente para valores positivos.

Ao analisarmos o comportamento das funções no intervalo \((-1, 0)\):

• Por exemplo, para \(x = -1\):
  • \((-1)^2 = 1\)
  • e \(2^{-1} = 0,5\).
  Portanto, \(x^2 > 2^x\) neste ponto.
• Para \(x = 0\):
  • \(0^2 = 0\)
  • e \(2^0 = 1\).
  Temos que \(x^2 < 2^x\) aqui.

Isso indica que a interseção das funções \(x^2\) e \(2^x\) deve ocorrer em algum lugar entre \(-1\) e \(0\), pois:

• Em \(x = -1\), a curva de \(x^2\) está acima de \(2^x\) e, em \(x = 0\), a curva de \(2^x\) está acima de \(x^2\).

Assim, podemos concluir que existe um único ponto, que não é inteiro, na região \((-1, 0)\) onde as duas funções se cruzam.

Portanto, a alternativa B está correta ao afirmar que \(x_0\) pertence ao intervalo \(-1 < x_0 < 0\).