A soma das raízes da equação \(x^8-1=0\) é igual a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A alternativa correta afirma que a soma das raízes da equação \(x^8 - 1 = 0\) é igual a 0.

Para compreender por que isso é verdade, podemos utilizar as Relações de Girard, que nos ajudam a relacionar os coeficientes de uma equação polinomial com suas raízes.

A forma geral de uma equação polinomial de grau 8 é:

\(a.x^8 + b.x^7 + c.x^6 + d.x^5 + e.x^4 + f.x^3 + g.x^2 + h.x + j = 0\)

No nosso caso, a equação específica \(x^8 - 1 = 0\) pode ser reescrita como:

\(1.x^8 + 0.x^7 + 0.x^6 + 0.x^5 + 0.x^4 + 0.x^3 + 0.x^2 + 0.x - 1 = 0\)

Ao comparar com a forma geral, identificamos os coeficientes:

\(a = 1 \quad \text{e} \quad b = 0\)

Segundo as Relações de Girard, a soma das raízes de uma equação é dada por:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 = -\frac{b}{a}\)

Substituindo os valores de \(b\) e \(a\), teremos:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 = -\frac{0}{1}\)

Isso nos leva a:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 = 0\)

Portanto, a soma das raízes da equação \(x^8 - 1 = 0\) realmente é 0, confirmando a alternativa correta.