Questão FC188450
Um professor de Matemática lançou a seus alunos do Ensino Médio o desafio de resolver a equação de 3º grau \(x^3+3x-4=0\). João, que é um aluno muito aplicado, usou a fórmula de Ca
Equações
CESGRANRIO · 2010
Um professor de Matemática lançou a seus alunos do Ensino Médio o desafio de resolver a equação de 3º grau \(x^3+3x-4=0\).
João, que é um aluno muito aplicado, usou a fórmula de Cardano para a resolução de equações de 3º grau e encontrou uma raiz, dada por:
\(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)
Por outro lado, Maria não demorou muito para perceber que \(x=1\) é raiz da equação e a reescreveu como \(x^3+3x-4=(x-1)(x^2+x+4)=0\).
- os dois estão certos, pois \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1\).
- João deve ter errado ao aplicar a fórmula de Cardano para resolver a equação de 3º grau.
- pelo método usado por Maria, é possível perceber que a equação tem 3 raízes reais.
- a raiz encontrada por João é um número irracional.
- os dois estão errados, pois os gráficos de \(y=x^3\) e \(y=4-3x\) não se interceptam e, portanto, a equação do 3º grau não tem raiz real.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Alternativa A: os dois estão certos, pois \( \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1 \).
Essa alternativa está correta, pois realmente João e Maria encontraram a mesma raiz para a equação cúbica \( x^3 + 3x - 4 = 0 \).
João utilizou a fórmula de Cardano e obteve o valor \( x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \). Para verificar se este valor é igual a 1, podemos elevar ambos os lados ao cubo:
\[ x^3 = \left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3 \]
Usando a expansão do cubo, temos:
\[ x^3 = \left(2+\sqrt{5}\right) + \left(2-\sqrt{5}\right) + 3\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right) \]
O que simplifica para:
\[ x^3 = 4 + 3\left(\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}\right)x \]
Sabemos que \( (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 4 - 5 = -1 \), assim podemos reescrever:
\[ x^3 = 4 - 3x \]
Rearranjando, obtemos:
\[ x^3 + 3x - 4 = 0 \]
Esse é justamente o polinômio original, confirmando que a raiz encontrada por João está correta.
Maria, por outro lado, identificou que \( x = 1 \) é uma raiz da equação e a fatorou como \( (x - 1)(x^2 + x + 4) = 0 \). Ao avaliar a equação quadrática \( x^2 + x + 4 = 0 \), ela determinou que tem um discriminante negativo, indicando que as outras raízes são complexas.
Dessa forma, a equação cúbica possui uma única raiz real, que é \( x = 1 \). Portanto, ambas as abordagens estão corretas, e a expressão de João se iguala ao valor de \( 1 \).
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