A Figura a seguir representa um tabuleiro com 25 casas. Cada uma das casas deverá conter um único número, de modo que em cada linha, em cada coluna e em cada uma das duas diagonais

Gabarito

A

Comentário do professor

Para determinar o valor de N, que completa a formação das progressões aritméticas (PAs) no tabuleiro, analisamos as informações já fornecidas.

A primeira linha apresenta o número 9 e a quinta coluna contém o 85. Na diagonal que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito, temos as posições:
\( a_1 = 9 \) (primeiro termo),
\( a_5 = 85 \) (quarto termo).

Precisamos calcular a razão dessa PA.
Usando a fórmula da PA, temos:

\( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \)

Para o quinto termo (que é 5º), substituindo os valores, obtemos:

\( 85 = 9 + 4r \)

Isolando r, temos:

\( 85 - 9 = 4r \)

\( 76 = 4r \)

Portanto:

\( r = \frac{76}{4} \)

Que resulta em:

\( r = 19 \)

Assim, os termos da diagonal são:

• 1º termo: 9
• 2º termo: \( 9 + 19 = 28 \)
• 3º termo: \( 28 + 19 = 47 \)
• 4º termo: \( 47 + 19 = 66 \)
• 5º termo: \( 66 + 19 = 85 \)

Agora, a linha onde N se encontra (4ª linha) deve também formar uma PA. Sabe-se que o 2º termo dessa PA é N e que o 4º termo é 66.

Novamente, vamos usar a fórmula da PA:

\( a_n = a_m + (n-m) \cdot r \)

Com \( m = 2 \) e \( n = 4 \), temos:

\( 66 = N + (4-2) \cdot 11 \)

Substituindo, ficamos com:

\( 66 = N + 22 \)

Assim, isolando N, temos:

\( N = 66 - 22 \)

Portanto:

\( N = 44 \)

Concluímos, assim, que o valor de N é igual a 44.

Gabarito: Letra A