Qual é o maior valor possível para n?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para determinar o maior valor possível de \( n \), considerando a soma de \( n \) números inteiros, ímpares, positivos e diferentes que resulta em 10.000, precisamos procurar a melhor estratégia para maximizar \( n \).

Primeiramente, vamos utilizar os menores valores ímpares possíveis, já que, ao começar com os menores números, conseguimos incluir mais termos na soma.

Os números ímpares positivos são: \( 1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots \). Esses números formam uma Progressão Aritmética (PA) onde o primeiro termo \( a_1 = 1 \) e a razão \( r = 2 \).

O \( n \)-ésimo termo da PA, que chamaremos de \( a_n \), pode ser expresso como:

\( a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 1 \)

A soma dos \( n \) primeiros números ímpares pode ser calculada utilizando-se a fórmula da soma dos termos de uma PA:

\( S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

Substituindo os valores:

\( S = \frac{n}{2} \cdot (1 + (2n - 1)) = \frac{n}{2} \cdot (2n) = n^2 \)

Agora, estabelecemos que a soma desses termos é igual a 10.000, ou seja:

\( n^2 = 10.000 \)

Para encontrar \( n \), extraímos a raiz quadrada:

\( n = \sqrt{10.000} = 100 \)

Portanto, o maior valor possível para \( n \) é \( 100 \).

Resposta: B