O quarto, o quinto e o sexto termos de uma progressão aritmética são expressos por x + 1, x 2 + 4 e 2x 2 + 3, respectivamente. A soma dos dez primeiros termos dessa progressão arit

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão e chegar à soma dos dez primeiros termos da progressão aritmética (PA), devemos primeiro determinar a razão da PA, que é a diferença constante entre quaisquer dois termos consecutivos.

Começamos identificando os termos dados:

• Quarto termo: \( a_4 = x + 1 \)
• Quinto termo: \( a_5 = x^2 + 4 \)
• Sexto termo: \( a_6 = 2x^2 + 3 \)

A razão pode ser calculada utilizando a diferença entre o quinto e o quarto termo:

\( r = a_5 - a_4 = (x^2 + 4) - (x + 1) = x^2 - x + 3 \) (1)

Ou entre o sexto e o quinto termo:

\( r = a_6 - a_5 = (2x^2 + 3) - (x^2 + 4) = x^2 - 1 \) (2)

Igualando as duas expressões para a razão, temos:

\( x^2 - x + 3 = x^2 - 1 \)

Resolvendo essa equação, obtemos:

\( -x + 3 + 1 = 0 \)

\( x = 4 \)

Agora podemos calcular os três termos da PA substituindo \( x \) por 4:

\( a_4 = 4 + 1 = 5 \)

\( a_5 = 4^2 + 4 = 16 + 4 = 20 \)

\( a_6 = 2 \cdot 4^2 + 3 = 2 \cdot 16 + 3 = 35 \)

Com esses termos, podemos calcular a razão \( r \):

\( r = a_5 - a_4 = 20 - 5 = 15 \)

Para encontrar a soma dos dez primeiros termos, utilizamos a fórmula da soma de uma PA:

\( S_n = \dfrac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

Contudo, precisamos determinar a média entre os termos 1 e 10. Em uma PA, a média dos termos equidistantes do centro é sempre igual, logo:

\( S = \dfrac{(a_5 + a_6)}{2} \cdot 10 = \dfrac{(20 + 35)}{2} \cdot 10 \)

Cálculo da soma:

\( S = \dfrac{55}{2} \cdot 10 = 27,5 \cdot 10 = 275 \)

Portanto, a soma dos dez primeiros termos dessa progressão aritmética é igual a 275.