Considere uma progressão aritmética, em que a 8 = a 2 + a 6, e a soma dos 10 primeiros termos dessa sequência é igual a 330. Assim, a razão dessa progressão é igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão, devemos analisar a progressão aritmética (PA) dada e a condição que a caracteriza.

A primeira condição é que:

\( a_8 = a_2 + a_6 \)

Utilizando a fórmula do termo geral da PA, podemos expressar os termos em função do primeiro termo \( a_1 \) e da razão \( r \):

\( a_8 = a_1 + 7r \)

\( a_2 = a_1 + r \)

\( a_6 = a_1 + 5r \)

Substituindo essas expressões na equação \( a_8 = a_2 + a_6 \), temos:

\( a_1 + 7r = (a_1 + r) + (a_1 + 5r) \)

\( a_1 + 7r = 2a_1 + 6r \)

Rearranjando os termos, obtemos:

\( a_1 + 7r - 6r = 2a_1 \)

\( a_1 + r = 2a_1 \)

\( r = a_1 \)

Isso nos mostra que o primeiro termo \( a_1 \) é igual à razão \( r \).

A segunda condição que precisamos considerar é a soma dos 10 primeiros termos, que é dada como:

\( S_{10} = 330 \)

A fórmula da soma dos \( n \) primeiros termos de uma PA é:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \)

Para \( n = 10 \), temos:

\( 330 = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \times 10 \)

A partir disso, isolando \( a_1 + a_{10} \), obtemos:

\( 330 \times 2 = 10(a_1 + a_{10}) \)

\( 660 = 10(a_1 + a_{10}) \)

\( a_1 + a_{10} = 66 \)

Sabendo que \( a_{10} = a_1 + 9r \), e substituindo \( a_1 \) por \( r \):

\( r + (r + 9r) = 66 \)

\( r + 10r = 66 \)

\( 11r = 66 \)

\( r = 6 \)

A razão da progressão aritmética é, portanto, 6.