Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por an, para n ≥ 1. Sabe-se que a1 = 0 e que a sequência cujo termo geral é bn = an+1 – an, n ≥ 1, é uma progressão aritméti

Gabarito

B

Comentário do professor

Para determinar o termo a₁₀₀₀ da sequência, primeiramente, analisamos a sequência b_n = a_n+1 – a_n, que é uma progressão aritmética (PA) com:

• b₁ = 9
• razão (r) = 4

Os primeiros termos da sequência b_n são dados por:

• b₁ = 9
• b₂ = b₁ + r = 9 + 4 = 13
• b₃ = b₂ + r = 13 + 4 = 17

Assim, os valores de b_n formam a sequência (9, 13, 17, ...).

Como a_n é gerada a partir da soma dos termos da sequência b_n, temos:

O termo a₂ é simplesmente b₁:

a₂ = b₁ = 9

O termo a₃ é a soma dos primeiros dois termos de b_n:

a₃ = b₁ + b₂ = 9 + 13 = 22

O termo a₄ é a soma dos três primeiros termos:

a₄ = b₁ + b₂ + b₃ = 9 + 13 + 17 = 39

A partir desse raciocínio, podemos generalizar que:

a_n é a soma dos primeiros n-1 termos de b_n.

Agora, precisamos calcular a₁₀₀₀, que é igual à soma dos primeiros 999 termos de b_n:

a₁₀₀₀ = S₉₉₉ = b₁ + b₂ + ... + b₉₉₉

A soma de uma PA pode ser calculada pela fórmula:

S_n = (n/2) × (b₁ + b_n)

Portanto, precisamos encontrar b₉₉₉:

b₉₉₉ = b₁ + 998 × r = 9 + 998 × 4 = 4001

Substituindo na fórmula da soma:

S₉₉₉ = (999/2) × (9 + 4001) = (999/2) × 4010 = 999 × 2005 = 2.002.995

Assim, concluímos que o termo a₁₀₀₀ é igual a 2.002.995, que corresponde à alternativa correta.