Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é \(S_n\), então a expressão \(S_{n+3}\) - \(3S_{n+2}\) + \(3S_{n+1}\) - \(S_n\) equivale a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a expressão \( S_{n+3} - 3S_{n+2} + 3S_{n+1} - S_n \).

Sabemos que \( S_n \) é a soma dos \( n \) primeiros termos de uma progressão aritmética (PA). Assim, podemos descrever cada soma de termos como:

\( S_{n+3} = S_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} \)

\( S_{n+2} = S_n + a_{n+1} + a_{n+2} \)

\( S_{n+1} = S_n + a_{n+1} \)

A partir dessas relações, podemos efetuar as substituições na expressão original.

Substituindo cada soma na expressão:

\( S_{n+3} - 3S_{n+2} + 3S_{n+1} - S_n = (S_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}) - 3(S_n + a_{n+1} + a_{n+2}) + 3(S_n + a_{n+1}) - S_n \)

Agora, fazendo a simplificação:

\( S_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} - 3S_n - 3a_{n+1} - 3a_{n+2} + 3S_n + 3a_{n+1} - S_n \)

Cancela-se \( S_n \) e \( S_n \), e por fim, temos:

\( a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} = 0 \)

Como os termos da PA seguem a diferença constante \( r \) entre cada termo, podemos afirmar que a expressão \( S_{n+3} - 3S_{n+2} + 3S_{n+1} - S_n \) simplifica para 0.

Portanto, a alternativa correta é:

0