Em uma progressão aritmética de 5 termos e primeiro termo 5, a soma dos quadrados dos três primeiros termos é igual à soma dos quadrados dos dois últimos termos. O maior valor poss

Gabarito

D

Comentário do professor

Na questão, temos uma progressão aritmética (P.A.) de 5 termos, com o primeiro termo igual a 5. O objetivo é encontrar o maior valor possível para o último termo da P.A.

Os termos dessa P.A. podem ser expressos como:

\( (5, 5+r, 5+2r, 5+3r, 5+4r) \)

A soma dos quadrados dos três primeiros termos é dada por:

\( 5^2 + (5+r)^2 + (5+2r)^2 \)

E a soma dos quadrados dos dois últimos termos é:

\( (5+3r)^2 + (5+4r)^2 \)

Vamos igualar essas duas somas:

\( 25 + (25 + 10r + r^2) + (25 + 20r + 4r^2) = (25 + 30r + 9r^2) + (25 + 40r + 16r^2) \)

Ao simplificarmos, obtemos uma equação quadrática:

\( 5r^2 + 30r + 75 = 25r^2 + 70r + 50 \)

Após manipulações, chegamos à forma:

\( 20r^2 + 40r - 25 = 0 \)

Dividindo a equação por 5 e utilizando a fórmula de Bhaskara, temos:

\( 4r^2 + 8r - 5 = 0 \)

Calculando o discriminante:

\( \Delta = 8^2 - 4 \times 4 \times (-5) = 144 \)

Resolvendo para \( r \):

\( r = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{8} \)

Obtendo duas soluções:

\( r = 0,5 \) e \( r = -2,5 \)

Como buscamos o maior valor possível para o último termo, devemos escolher a razão positiva:

\( r = 0,5 \)

O último termo da P.A. é dado por:

\( a_5 = 5 + 4r = 5 + 4 \times 0,5 = 7 \)

Portanto, o maior valor possível para o último termo dessa progressão aritmética é 7, o que corresponde à alternativa D.