Ana e Bia são vendedoras de uma mesma loja. Em certo dia, Ana fez 4 vendas nos valores a1, a2, a3 e a4, e Bia fez 5 vendas nos valores b1, b2, b3, b4 e b5. Considere x e y números

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é \(0,9\).

Consideramos duas progressões aritméticas (PAs) formadas pelas vendas de Ana e Bia. A primeira PA é composta pelos valores de Ana, que inclui os extremos \(x\) e \(y\), resultando em:

• \(a_1 = x\);
• \(a_6 = y\);

A razão dessa PA, que chamaremos de \(r\), nos dá a relação:

\(y = x + 5r\)
(1)

Para a PA de Bia, temos:

• \(b_1 = x\);
• \(b_7 = y\);

Com a razão \(R\), obtemos:

\(y = x + 6R\)
(2)

Igualando as duas expressões para \(y\) a partir das PAs, temos:

\(x + 5r = x + 6R\)

Assim, simplificando, encontramos:

\(5r = 6R\)

Logo, podemos expressar \(R\) em função de \(r\):

\(R = \frac{5r}{6}\)

Agora que temos as razões, podemos calcular a fração \(\frac{a_4 - a_1}{b_5 - b_1}\). Para a PA de Ana, o quarto termo \(a_4\) é:

\(a_4 = a_1 + 3r = x + 3r\)

Para a PA de Bia, o quinto termo \(b_5\) é:

\(b_5 = b_1 + 4R = x + 4R\)

Substituindo \(R\) na expressão, temos:

\(b_5 = x + 4\left(\frac{5r}{6}\right) = x + \frac{20r}{6} = x + \frac{10r}{3}\)

Agora, substituindo na fração, obtemos:

\(\frac{a_4 - a_1}{b_5 - b_1} = \frac{(x + 3r) - x}{(x + \frac{10r}{3}) - x}\)

Isso simplifica para:

\(\frac{3r}{\frac{10r}{3}} = \frac{3r \cdot 3}{10r} = \frac{9}{10} = 0,9\)

Portanto, a fração \(\frac{a_4 - a_1}{b_5 - b_1}\) é igual a 0,9, confirmando a alternativa correta.