A soma dos 11 primeiros termos de ordem par de uma progressão aritmética vale 209. A soma dos 23 primeiros termos dessa progressão vale

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que sugere que a soma dos 23 primeiros termos da progressão aritmética (PA) é igual a 437.

Sabemos que a soma \(S_n\) dos n primeiros termos de uma PA pode ser calculada pela fórmula:

\(S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)\)

Onde:

• n é o número de termos,
• a_1 é o primeiro termo,
• a_n é o enésimo termo.

No caso, a questão afirma que a soma dos 11 primeiros termos de ordem par vale

209. Isso se traduz matematicamente como:

\(a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{22} = 209\)

Podemos reescrever essa soma utilizando a fórmula da soma dos termos com n igual a 11:

\(S_{11} = \frac{11}{2} \times (a_2 + a_{22}) = 209\)

Isso implica que:

\(a_2 + a_{22} = \frac{418}{11}\

Com isso, chegamos à fórmula que nos permitirá encontrar a soma dos 23 primeiros termos. O termo médio de uma PA é um ponto crucial neste cálculo.

Observamos que o termo médio é o 12º termo. Assim, temos:

\(a_{12} = 19\)

Agora, sabemos que a soma dos 23 primeiros termos também pode ser expressa como:

\(S_{23} = \frac{23}{2} \times (a_1 + a_{23})\)

Usando a informação do primeiro e do último termo e, mais uma vez, o termo médio, podemos estabelecer:

\(a_1 + a_{23} = 38\)

Substituindo na fórmula de soma, obtemos:

\(S_{23} = \frac{23}{2} \times 38 = 437\)

Assim, confirmamos que a soma dos 23 primeiros termos é 437, o que torna a alternativa correta verdadeira.