Em uma Progressão Aritmética (P.A.), verificam-se as seguintes relações entre seus termos: a16 + a52 = 326 e a25 + a32 = 271. Essa P.A. é aquela em que

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que o primeiro termo da P.A. é igual a -2 e a razão é 5.

Para comprová-la, começamos com as relações dadas pelo enunciado:

1. A primeira relação é \(a_{16} + a_{52} = 326\).
Vamos escrever \(a_{16}\) e \(a_{52}\) em termos do primeiro termo (a₁) e da razão (r):

• \(a_{16} = a_1 + 15r\)
• \(a_{52} = a_1 + 51r\)

Substituindo na relação, temos:

\((a_1 + 15r) + (a_1 + 51r) = 326\

Isso nos dá:

\(2a_1 + 66r = 326 \tag{1}\)

2. A segunda relação é \(a_{25} + a_{32} = 271\).
Escrevendo os termos da mesma forma:

• \(a_{25} = a_1 + 24r\)
• \(a_{32} = a_1 + 31r\)

Substituindo aqui, ficamos com:

\((a_1 + 24r) + (a_1 + 31r) = 271\)

Que resulta em:

\(2a_1 + 55r = 271 \tag{2}\)

3. Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2).
Subtraindo a equação (2) da equação (1):

\(\begin{array}{rrl} 2a_1 & + 66r & = 326 \\ -2a_1 & - 55r & = -271 \\ \hline & 11r & = 55 \end{array}\)

Assim, encontramos:

\(r = 5\)

4. Agora substituímos o valor de r na equação (1):

\(2a_1 + 66 \cdot 5 = 326\)

Isso se transforma em:

\(2a_1 + 330 = 326\)

Resolvendo para a₁:

\(2a_1 = 326 - 330\)

\(a_1 = \dfrac{-4}{2} = -2\)

Portanto, conseguimos determinar que o primeiro termo da P.A. é -2 e, como já encontramos antes, a razão 5.

Assim, confirmamos a validade da alternativa correta: o primeiro termo da P.A. é -2 e a razão é 5.