O esquema abaixo ilustra as 4 primeiras linhas de um mosaico triangular, formadas por 32 triângulos pequenos, todos iguais. O mosaico triangular completo será construído com até 50

Gabarito

A

Comentário do professor

Para entender por que a alternativa correta é 15, precisamos analisar a formação das linhas do mosaico triangular. Cada linha do mosaico adiciona mais triângulos em relação à linha anterior.

A primeira linha possui \(2\) triângulos, enquanto a segunda adiciona mais \(4\) triângulos, totalizando \(6\). Essa lógica se repete, onde a quantidade de triângulos na linha n-ésima pode ser definida como:

\(a_n = 4n - 2\)

A soma total dos triângulos no mosaico deve ser igual a \(500\). Para saber quantas linhas podemos formar, utilizamos a fórmula da soma dos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética:

\(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\)

Substituindo, temos:

\(500 = \frac{(2 + a_n)n}{2}\)

Resolvendo essa equação, chegamos na relação entre \(n\) e o número total de triângulos:

\(2n + n(4n-2) = 1.000\)

Ao simplificarmos, obtemos:

\(4n^2 = 1.000\)

Portanto:

\(n^2 = \frac{1.000}{4}\)

Resolvendo para \(n\), resulta em:

\(n = \sqrt{250} \approx 15,8\)

Como não podemos ter uma linha fracionária, concluímos que o maior número inteiro de linhas possível é \(15\). Assim, a construção do mosaico triangular será completada nas 15 linhas.

Portanto, o gabarito correto é: alternativa A (15).