Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos?

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão sobre a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos, começamos identificando quais são esses múltiplos.

A menor número de 4 algarismos é 1000. Para descobrir o primeiro múltiplo de 11 nessa faixa, dividimos:

\(\dfrac{1000}{11} \approx 90,9\)

Isso indica que o primeiro múltiplo de 11 é obtido ao considerar o próximo número inteiro, que é 91. Assim, multiplicamos:

\(91 \times 11 = 1001\)

Agora, vamos determinar o último múltiplo de 11 para 4 algarismos. O maior número de 4 algarismos é 9999. A divisão nos dá:

\(\dfrac{9999}{11} = 909\)

Portanto, o último múltiplo de 11 é 909, que faz parte da lista de múltiplos.

Agora sabemos que a sequência de múltiplos de 11 que estamos considerando forma uma progressão aritmética (PA), com:

• Primeiro termo (a1) = 1001
• Último termo (an) = 9999

Para determinar o número de termos dessa PA, calculamos a diferença entre o último e o primeiro termo. Como os termos são números sequenciais de múltiplos de 11, entendemos que os múltiplos vão de 91 até 909.

Assim, o cálculo é:

\(909 - 90 = 819\)

Temos 819 termos nesta sequência.

Agora, para calcular a soma dos termos da PA, utilizamos a fórmula:

\(S = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)

Substituindo os valores que encontramos:

\(S = \dfrac{(1001 + 9999) \cdot 819}{2}\)

\(S = \dfrac{(11000) \cdot 819}{2} = \dfrac{9.009.000}{2} = 4.504.500\)

Portanto, a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos é 4.504.500.