As figuras 1, 2 e 3 descrevem uma sequência denominada números pentagonais. Assim, a sequência numérica correspondente é igual a 1, 5, 12 .... Seguindo esse padrão, a 50a figura re

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A alternativa correta é 3.725, que representa o número de bolinhas na 50ª figura da sequência dos números pentagonais.

Para entender como chegamos a esse valor, observe que a sequência dos números pentagonais inicia com 1, 5 e 12. Analisando as diferenças entre os termos, percebemos um padrão crescente.

A diferença entre o 1º e o 2º termo é 4, e entre o 2º e o 3º termo é 7. A cada passo, essa diferença aumenta 3 unidades, formando uma progressão aritmética com primeiro termo 4 e razão 3.

Para encontrar o 49º incremento, usamos a fórmula da progressão aritmética:

\( a_n = a_1 + (n-1)r \)

Aqui, \( a_1 = 4 \), \( n = 49 \) e \( r = 3 \):

\( a_{49} = 4 + (49-1) \cdot 3 \)

\( a_{49} = 4 + 48 \cdot 3 = 148 \)

A soma total dos incrementos até a 50ª figura é a soma dos primeiros 49 incrementos:

\( S_n = \frac{(a_1 + a_n) n}{2} \)

\( S_{49} = \frac{(4 + 148) \cdot 49}{2} \)

\( S_{49} = \frac{152 \cdot 49}{2} = 3.724 \)

Portanto, o número total de bolinhas na 50ª figura é a bolinha da 1ª figura (1) mais a soma dos incrementos (3.724):

\( 1 + 3.724 = 3.725 \)

Assim, concluímos que a 50ª figura contém 3.725 bolinhas, confirmando a opção correta.