Sejam {an} \(n_{∈\mathbb{N}}\) e {bn} \(n_{∈\mathbb{N}}\) duas sequências de números re- ais, tais que bn = \(2 ^{a_n}\) , \(∀\)n \(∈\) \(\mathbb{N}\). Sabe-se que {bn} \(n_{∈\math

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que a sequência numérica {a_n} é uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é 4 e cuja razão é 3.

Começando pela sequência {b_n} que é dada como uma progressão geométrica com primeiro termo 16 e razão 8, podemos definir os primeiros termos desta sequência:

• b₁ = 16
• b₂ = 16 × 8 = 128
• b₃ = 128 × 8 = 1024

Estes termos correspondem a:

• b₁ = \( 2^4 \)
• b₂ = \( 2^7 \)
• b₃ = \( 2^{10} \)

Sabendo que b_n = \( 2^{a_n} \), podemos igualar os termos:

• Para n=1: \( 2^{a_1} = 2^4 \) então \( a_1 = 4 \)
• Para n=2: \( 2^{a_2} = 2^7 \) então \( a_2 = 7 \)
• Para n=3: \( 2^{a_3} = 2^{10} \) então \( a_3 = 10 \)

A partir dos valores que encontramos, temos:

• a₁ = 4
• a₂ = 7
• a₃ = 10

Agora, vamos verificar se {a_n} realmente forma uma progressão aritmética:

Note que a diferença entre os termos é constante:

• a₂ - a₁ = 7 - 4 = 3
• a₃ - a₂ = 10 - 7 = 3

Assim, a sequência {a_n} é de fato uma progressão aritmética com:

• Primeiro termo: 4
• Razão: 3

Concluímos, portanto, que a alternativa correta está correta ao afirmar que a sequência {a_n} é uma progressão aritmética com primeiro termo 4 e razão 3.