Sabe-se que, em uma determinada progressão geométrica, a razão é 0,8. Se o quinto termo é 4.096; então, o Limite da Soma dos n primeiros dessa P.G., quando n tende a infinito, é ig

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para entender a alternativa correta, que afirma que o limite da soma dos n primeiros termos da P.G. é igual a 50.000, vamos analisar o problema.

Em uma progressão geométrica (P.G.), a soma dos termos quando \( n \) tende ao infinito pode ser calculada utilizando a fórmula:

\( S = \frac{a_1}{1 - q} \)

onde:

• S é a soma dos infinitos termos;
• a₁ é o primeiro termo da P.G.;
• q é a razão da P.G.

No enunciado, a razão \( q \) é dada como 0,8 e o quinto termo da P.G. é 4.096.

Primeiro, precisamos encontrar o primeiro termo \( a_1 \). O termo geral de uma P.G. é dado por:

\( a_n = a_1 \times q^{n-1} \)

Portanto, para o quinto termo, temos:

\( a_5 = a_1 \times 0,8^4 \)

Sabendo que \( a_5 = 4.096 \), substituímos:

\( 4.096 = a_1 \times 0,8^4 \)

Calculando \( 0,8^4 \), temos:

\( 0,8^4 = \frac{4.096}{10.000} \)

Assim, podemos rearranjar a equação para encontrar \( a_1 \):

\( a_1 = \frac{4.096}{0,8^4} = 10.000 \)

Agora que temos \( a_1 = 10.000 \) e \( q = 0,8 \), podemos calcular a soma dos infinitos termos:

\( S = \frac{10.000}{1 - 0,8} \)

Substituindo, obtemos:

\( S = \frac{10.000}{0,2} \)

Como \( 0,2 \) é o inverso de 5:

\( S = 10.000 \times 5 = 50.000 \)

Portanto, o limite da soma dos n primeiros termos da P.G. quando \( n \) tende a infinito é, de fato, 50.000.