Para x > 0, seja Sx a soma O número real x para o qual se tem \(S_x=\frac {1} {4}\)

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a soma infinita dada na questão, começamos reescrevendo-a:

\(S_x = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-nx} = \frac{1}{2^x} + \frac{1}{4^x} + \frac{1}{8^x} + \ldots\)

Essa sequência é uma progressão geométrica (PG) com o primeiro termo \(a = \frac{1}{2^x}\) e razão \(q = \frac{1}{2^x}\).

Para determinar o valor de \(x\) quando a soma \(S_x\) é igual a \(\frac{1}{4}\), utilizamos a fórmula da soma da PG infinita:

\(S = \frac{a_1}{1 - q}\)

Substituindo os valores, temos:

\(\frac{1}{4} = \frac{\frac{1}{2^x}}{1 - \frac{1}{2^x}}\)

Manipulando a equação, chegamos a:

\(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^x} = \frac{1}{2^x}\)

Fatorando \(\frac{1}{2^x}\), obtemos:

\(\frac{1}{4} = \frac{1}{2^x} \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right)\)

Isso se simplifica para:

\(1 = \frac{5}{2^x}\)

Multiplicando ambos os lados por \(2^x\), temos:

\(2^x = 5\)

Agora, escrevendo em termos de logaritmo, obtemos:

\(x = \log_2 5\)

Assim, a alternativa correta é log₂5.