Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a soma dos \(n\) primeiros termos da progressão geométrica:

\(S_n = \frac{3^{n+4} - 81}{2 \cdot 3^n}\)

Para encontrarmos o quarto termo, vamos primeiro determinar os dois primeiros termos (\(a_1\) e \(a_2\)).

Calculando o primeiro termo:

Substituindo \(n = 1\) na fórmula, obtemos:

\(S_1 = \frac{3^{1+4} - 81}{2 \cdot 3^1}\)

\(S_1 = \frac{3^5 - 81}{2 \cdot 3}\)

\(S_1 = \frac{243 - 81}{6} = \frac{162}{6} = 27\)

Portanto, temos que:

\(a_1 = 27\)

Calculando o segundo termo:

Agora, substituindo \(n = 2\):

\(S_2 = \frac{3^{2+4} - 81}{2 \cdot 3^2}\)

\(S_2 = \frac{3^6 - 81}{2 \cdot 9}\)

\(S_2 = \frac{729 - 81}{18} = \frac{648}{18} = 36\)

Dessa forma, podemos escrever:

\(a_1 + a_2 = 36\)

Substituindo \(a_1\):

\(27 + a_2 = 36\)

Resolvendo:

\(a_2 = 36 - 27 = 9\)

Encontrando a razão da PG:

A razão \(q\) é dada por:

\(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}\)

Agora, vamos calcular o quarto termo:

Usando a fórmula geral do termo \(n\)-ésimo da PG:

\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Substituindo para \(n = 4\):

\(a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4-1}\)

\(a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3\)

\(a_4 = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1\)

Assim, concluímos que o quarto termo da progressão geométrica é 1.