Considere a progressão geométrica finita (a1, a2, a3,...,a11, a12), na qual o primeiro termo vale metade da razão e a7 = 64 . a4. O último termo dessa progressão é igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Na questão apresentada, a alternativa correta é 2²³, que representa o último termo da progressão geométrica (PG) em questão.

Para compreender como chegamos a esse resultado, vamos revisar algumas informações importantes sobre a PG.

O primeiro termo da PG é dado como \( a_1 = \frac{q}{2} \), onde \( q \) é a razão da PG. A questão também nos informa que \( a_7 = 64 \cdot a_4 \).

Os termos da PG podem ser expressos da seguinte forma:

• \( a_4 = a_1 \cdot q^3 \)
• \( a_7 = a_1 \cdot q^6 \)

Substituindo \( a_4 \) na relação dada, temos:

\( a_1 \cdot q^6 = 64 \cdot (a_1 \cdot q^3) \)

Podemos simplificar essa equação, cancelando \( a_1 \) (desde que \( a_1 \neq 0 \)):

\( q^6 = 64 \cdot q^3 \)

Dividindo ambos os lados por \( q^3 \):

\( q^3 = 64 \)

Assim, tomando a raiz cúbica:

\( q = \sqrt[3]{64} = 4 \)

Com a razão encontrada, substituímos \( q \) de volta na expressão do último termo da PG:

\( a_{12} = a_1 \cdot q^{11} = \frac{q}{2} \cdot q^{11} = \frac{q^{12}}{2} \)

Substituindo \( q = 4 \):

\( a_{12} = \frac{4^{12}}{2} = \frac{(2^2)^{12}}{2} = \frac{2^{24}}{2} = 2^{23} \)

Portanto, o último termo da PG, \( a_{12} \), é de fato 2²³.