Considere an e bn os termos gerais de duas progressões geométricas, cujas razões são 4 e \({ \large 1 \over 2}\), respectivamente. Tem-se, portanto, que cn = an . bn é o termo gera

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para encontrar a razão da nova progressão geométrica \(c_n = a_n \cdot b_n\), onde \(a_n\) e \(b_n\) são os termos gerais das progressões geométricas com razões 4 e \(\frac{1}{2}\) respectivamente, começamos escrevendo os termos gerais:

O termo geral de uma progressão geométrica é dado por:

\(a_n = a_1 \cdot 4^{n-1}\)

\(b_n = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Assim, substituindo na expressão para \(c_n\):

\(c_n = a_n \cdot b_n = \left(a_1 \cdot 4^{n-1}\right) \cdot \left(b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)\)

Podemos simplificar essa expressão. Acompanhe:

\(c_n = a_1 \cdot b_1 \cdot 4^{n-1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Agora, observamos que \(4^{n-1} = \left(2^2\right)^{n-1} = 2^{2(n-1)}\). Assim substituímos:

\(c_n = a_1 \cdot b_1 \cdot 2^{2(n-1)} \cdot 2^{-(n-1)}\)

Reunindo as potências de 2:

\(c_n = a_1 \cdot b_1 \cdot 2^{2(n-1) - (n-1)}\)

\(c_n = a_1 \cdot b_1 \cdot 2^{n-1}\)

Portanto, a razão da nova progressão geométrica \(c_n\) é igual a \(2\). Assim, confirmamos que a alternativa correta é:

2